극단값 분석에 대한 분석적 정의
함수 f(x)는 f(x*)가 f(x)보다 크거나 같도록 0보다 큰 일부 ε이 존재하는 경우(최대값의 경우) 또는 f(x*)가 f(x)보다 작거나 같은 경우(최소값의 경우) |x − x*|일 때 점 x*에 국소 극점을 갖는다고 합니다. 주어진 x 도메인에서 ε보다 작습니다. 이 시점에서 함수의 값을 함수의 극값이라고 합니다.
함수 f(x)는 f(x*)가 f(x)보다 크거나 같은 경우(최대값의 경우) 또는 f(x*)가 f(x)보다 작거나 같은 경우(최소값의 경우) 함수 영역 전체의 모든 x에 대해 x*에서 전역(또는 절대) 극점을 갖습니다.
테스트: 극단값 분석용
미적분학에는 극값 분석을 위한 두 가지 테스트, 즉 1차 미분 테스트와 2차 미분 테스트가 있습니다. 우선, 극단값은 함수의 임계점, 즉 함수의 기울기가 ‘0’이거나 ‘정의되지 않음’인 곳에서 발생합니다. 그런 다음 이러한 점이 실제로 극단인지 확인하고 극단의 종류, 즉 최대값인지 최소값인지 확인하기 위해 앞서 언급한 테스트를 통해 제공됩니다. 1차 도함수 검정은 해당 점 전후의 함수 기울기 부호의 변화를 수동으로 분석하여 극점의 종류를 알려주는 반면, 2차 도함수 검정은 해당 점에서 함수의 2차 도함수의 부호만 확인하여 해당 점이 최대값인지 최소값인지 직접적으로 알 수 있습니다.
극한값 분석 : 한눈에 보기
x*가 f'(x*) = 0인 임계점이라고 가정합니다.
(i) 첫 번째 파생 테스트:
x*에서 왼쪽으로 확장된 열린 구간에서 f'(x)가 0보다 크고 x*에서 오른쪽으로 확장된 열린 구간에서 f'(x)가 0보다 작은 경우 f(x)는 x*에서 상대 최대값을 갖습니다.
x*에서 왼쪽으로 확장된 열린 구간에서 f'(x)가 0보다 작고 x*에서 오른쪽으로 확장된 열린 구간에서 f'(x)가 0보다 큰 경우 f(x)는 x*에서 상대 최소값을 갖습니다.
f'(x)가 x*에서 왼쪽으로 확장되는 열린 구간과 x*에서 오른쪽으로 확장되는 열린 구간 모두에서 동일한 부호를 갖는 경우 f(x)는 x*에서 상대적 극단을 가지지 않습니다.
(ii) 두 번째 미분 테스트:
f(x)는 f”(x*)가 0보다 작을 경우 x*에서 상대 최대값을 갖습니다.
f”(x*)가 0보다 큰 경우 f(x)는 x*에서 상대 최소값을 갖습니다.
f”(x) = 0인 경우 f(x)는 x*에서 극단값을 갖지 않습니다.
Q: 두 숫자의 합이 일정할 때 두 숫자가 같을 때 그 곱이 최대가 된다는 것을 보여주세요!
A: 숫자를 x & y로 하여 x – y = c(상수)가 되도록 합니다.
이제 M = xy라고 하자.
= M(x) = x(x-c)
= M'(x) = 2x – c
= M”(x) = 0보다 작은 c [따라서 M'(x)=0은 최대값을 제공합니다]
따라서 M'(x) = 0 [최대값 조사 조건]으로 설정합니다.
= 2x – c = 0
= x = c/2
따라서 y = x – c = y = c/2 ;
이는 x = y일 때 곱(M)이 최대임을 나타냅니다!!!